时间过得飞快，必须强迫自己学习。今天继续学A的LU分解
关键字: 数学,线性代数
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AB乘积的逆
假设A、B都可逆则有
\((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\)
即 \(B^{-1}A^{-1}\)
为 \(AB\)
乘积的逆
同理可知
\((B^{-1}A^{-1})(AB) = I\)
A=LU总消元公式
A通过消元得到U，通过这种方式来审视高斯消元
2*2矩阵例子
$A = \begin{bmatrix} 2&1\\8&7 \end{bmatrix}$
我们需要使用一个初等函数 $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0\\-4&1 \end{bmatrix}$
来消元 $A$
从而得到 $U = \begin{bmatrix} 2&1\\0&3 \end{bmatrix}$
如果要得到
\(A=LU\)
中的 \(L\)
我们需要两边同时乘以 \((E_{21})^{-1}\)
即
\(A = (E_{21})^{-1}U\)
则 \((E_{21})^{-1}\)
即为我们要求的 \(L\)
3*3矩阵例子
$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\\8&7&5\\4&8&6 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\4&8&6 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\2&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\0&6&0 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\2&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&2&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\0&0&14 \end{bmatrix}$
所以综上求得
$U=\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\0&0&14 \end{bmatrix}$
$L= (\begin{bmatrix} 1&0&0\\4&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\2&0&1 \end{bmatrix})
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&2&1 \end{bmatrix}$
$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\2&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&2&1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1&0&0\\4&0&0\\2&0&0 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&2&1 \end{bmatrix}
$
$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\2&2&1 \end{bmatrix}$
验算
我们可以使用列乘行解法进行验算上面的 3*3 例子的
\(L\)
$
\begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\2&2&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\0&0&14 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 2&1&3\\8&4&12\\4&2&6 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&3&-7\\0&6&-14 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&14 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 2&1&3\\8&7&5\\4&8&6 \end{bmatrix}
$
验算通过
总结规律
规律一 消元公式
\(E_{32}E_{31}E_{21}A = U\)
可以变幻为 \(A = (E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}U\)
之所以使用
\(A=LU\)
的公式，是因为初级矩阵的逆可以通过消元被倍数直接得到
比如上面的例子中
$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\\8&7&5\\4&8&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2&1&3\\0&3&-7\\4&8&6 \end{bmatrix}$
$(E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\4&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$
我们通过行1的4倍消除第二行第一个元素，只需要在这个位置填入倍数即可。
规律二
同时我们可以发现 U 和 L 的结构如下
$
U = \begin{bmatrix} 1&n_{12}&n_{13}\\0&1&n_{23}\\0&0&1 \end{bmatrix}
$
$
L = \begin{bmatrix} 1&0&0\\n_{21}&1&0\\n_{31}&n_{32}&1 \end{bmatrix}
$