列空间和零空间
关键字:数学,线性代数,列空间,零空间
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向量空间
空间内任意两向量相加或乘积结果仍在空间内，即任意倍的向量v与任倍的向量w之和仍在空间中
三维空间举例
子空间
空间内通过原点的平面 P 或直线 L。
集合
$P \bigcup L$
不构成子空间，因为 `P` 空间的一个向量 和 `L` 上的一个向量 相加或乘积，结果不一定在他们原本的空间里。
$P \bigcap L$
则构成子空间
列空间
一个矩阵
\(A\)
的列空间可以记为 \(C(A)\)
，可以视为它所有列的线性组合
举例
问题：什么
\(b\)
矩阵可以使得 方程式有解？
$Ax = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 5 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
b_4 \\
\end{bmatrix}
$
回答：
- $x$为零空间
- 当且仅当 \(b\)为\(A\)的列空间时，\(Ax = b\)有解
零空间
一个矩阵
\(A\)
的零空间可以记为 \(N(A)\)
当
\(Av = 0, Aw = 0\)
时 \(A(v+w) = 0\)