相隔了一个月才继续学习数学，真是有点惭愧。但是终归安排出时间继续了:smile:，今天一起学习下乘法和逆矩阵
关键字:线性代数,数学
视频地址
矩阵乘法
什么情况下矩阵可以相乘?
- 矩阵不一定需要方阵
- 矩阵\(a_{mn}\)与 矩阵\(b_{np}\)的乘积，\(a\)的列\(n\)必须要与\(b\)的行\(n\)相等，得到的新矩阵为\(c_{mp}\)
如何求出矩阵中的某一点
\(C_{ij}\)
点乘法
$
c_{ij} = a.Rowi * b.Colj =
a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{31}b_{4j} + ... = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}
$
列（矩阵乘以向量）的解法
可以查阅上一节的知识 矩阵
\(A * B = C\)
中的 \(C\)
实际上是 \(A\)
列的线性组合
行（向量乘以矩阵）的解法
同上，我们也可以将
\(C\)
的行看成 \(B\)
行的线性组合
列乘行解法
矩阵
\(AB = SUM(A.Col * B.Row)\)
举例来说
$
\begin{bmatrix} 2&7\\3&8\\4&9 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&6\\0&0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 2\\3\\4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&6 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 7\\8\\9 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0&0 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 2&12\\3&18\\4&24 \end{bmatrix}
$
分块乘法
$
\begin{bmatrix} A_{1}&A_{2}\\A_{3}&A_{4} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} B_{1}&B_{2}\\B_{3}&B_{4} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3}&A_{1}B_{2}+A_{2}B_{4}\\
A_{3}B_{1}+A_{4}B_{3}&A_{3}B_{2}+A_{4}B_{4}
\end{bmatrix}
$
其中
\(A_{1}\)
可以视为一个更小的矩阵
逆矩阵
- 不是所有矩阵都有逆
- 可逆矩阵也成为非奇异矩阵
- 对于一个存在逆的矩阵而言，它的左逆阵等于右逆阵（只在方阵情况下生效）
奇异矩阵
假设一个向量
\(x \neq 0\)
，和一个方阵 \(A\)
使 \(Ax = 0\)
，那这个 \(A\)
不可逆
因为我们上面了解到，方阵的左逆阵等于右逆阵，所以当向量\(x\)
存在于一个方阵中与 \(A\)
可逆的话，只有 \(X=0\)
才有可能但是这种情况是与命题不符的，举例
$
AX=\begin{bmatrix} 1&3\\2&6 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 3\\-1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}
$
高斯若尔丹(Gauss-Jordan)消元法
$E[AI]=[IA^{-1}]$
- 举例如下
$
\begin{bmatrix} 1&3\\2&7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A^{-1} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}
$
- 我们要求逆\(A^{-1}\)可以使用增广矩阵进行消元
$
\begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\\2&7&|&0&1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix}
$
- 所以最终求出逆矩阵
$
A^{-1} = \begin{bmatrix} &7&-3\\&-2&1 \end{bmatrix}
$
- 代入验算通过 😎
$
\begin{bmatrix} 1&3\\2&7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} &7&-3\\&-2&1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}
$