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线性代数笔记(三)
数学 线性代数 1/17/2022 8:28:09 PM 阅读:21

时间过得飞快,必须强迫自己学习。今天继续学A的LU分解 关键字: 数学,线性代数

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A的LU分解

AB乘积的逆

假设A、B都可逆则有 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ 即 $B^{-1}A^{-1}$ 为 $AB$ 乘积的逆

同理可知 $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$

A=LU总消元公式

A通过消元得到U,通过这种方式来审视高斯消元

2*2矩阵例子

$A = \begin{bmatrix} 2&1\8&7 \end{bmatrix}$ 我们需要使用一个初等函数 $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0\-4&1 \end{bmatrix}$ 来消元 $A$ 从而得到 $U = \begin{bmatrix} 2&1\0&3 \end{bmatrix}$

如果要得到 $A=LU$ 中的 $L$ 我们需要两边同时乘以 $(E_{21})^{-1}$

即 $A = (E_{21})^{-1}U$ 则 $(E_{21})^{-1}$ 即为我们要求的 $L$

3*3矩阵例子

$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\4&8&6 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&6&0 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix}$

所以综上求得

$U=\begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix}$

$L= (\begin{bmatrix} 1&0&0\4&0&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&1&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\2&0&1 \end{bmatrix}) \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix}$

$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&0&0\2&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&1&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\0&2&1 \end{bmatrix} $

$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&2&1 \end{bmatrix}$

验算

我们可以使用列乘行解法进行验算上面的 3*3 例子的 $L$

$ \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&4&12\4&2&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&3&-7\0&6&-14 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\0&0&14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix} $

验算通过

总结规律

规律一 消元公式 $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 可以变幻为 $A = (E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}U$

之所以使用 $A=LU$ 的公式,是因为初级矩阵的逆可以通过消元被倍数直接得到

比如上面的例子中

$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\4&8&6 \end{bmatrix}$

$(E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix}$

我们通过行1的4倍消除第二行第一个元素,只需要在这个位置填入倍数即可。

规律二 同时我们可以发现 UL 的结构如下

$ U = \begin{bmatrix} 1&n_{12}&n_{13}\0&1&n_{23}\0&0&1 \end{bmatrix} $

$ L = \begin{bmatrix} 1&0&0\n_{21}&1&0\n_{31}&n_{32}&1 \end{bmatrix} $