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线性代数笔记(四)
数学 线性代数 1/24/2022 6:53:02 PM 阅读:42

继续学习,今天了解下置换和转置 关键字:数学,线性代数,置换,转置,应用

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置换和转置

置换矩阵

置换矩阵就是行进行了交换的矩阵,我们使用P来定义置换P12代表

PA=LU 代表了支持行交换的消元计算

一个矩阵的可置换数量为它的阶乘 $n! = n(n-1)...(3)(2)(1)$

置换矩阵都是可逆的且 $P^{-1} = P^{T}$ 所以 $P^{T}P=I$

矩阵转置

设A为m×n阶矩阵(即m行n列),第i 行j 列的元素是a(i,j),即: $A = (a_{ij})_{mn}$

把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵,此矩阵叫做A的转置矩阵,记做 $A^T$ 或 $A^{'}$

例如矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&2&0\3&-1&4 \end{bmatrix}$ 的转置矩阵为 $A^T=\begin{bmatrix} 1&3\2&-1\0&4 \end{bmatrix}$

基本性质

矩阵的转置和加减乘除一样,也是一种运算,且满足下列运算规律(假设运算都是可行的):

$(A^T)^T = A$

$(A+B)^T = A^T + B^T$

$(kA)^T = kA^T$

$(AB)^T = B^TA^T$

扩展

设A为n阶矩阵,如果满足 $A^T = A$ 即 $a_{ij} = a_{ji}(i,j=1,2,3...n)$ 那么 $A$ 称为对称矩阵

比如矩阵 $\begin{bmatrix} 3&1&7\1&2&9\7&9&4 \end{bmatrix}$ 就是对称矩阵

因为我们知道 $(AB)^T = B^TA^T$ 所以可以知道 $(AA^{T})^T = AA^T$ 我们把$AA^{T}$视为一个$R$矩阵 所以我们可以得到一个矩阵 $R$ 和它的转置矩阵 $R^{T}$ 的乘积就是一个对称矩阵

A转置的逆

因为 $AA^{-1} = I$

所以 $(AA^{-1})^T = I^T$

求得 $(A^{-1})^T A^T = I$

所以 $A$ 逆的转置就是 $A$ 转置的逆

应用

浅谈矩阵在实际生活中的应用

  • 生产成本的计算
  • 人口流动的问题
  • 希尔加密算法