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线性代数笔记(一)
数学 线性代数 矩阵 12/7/2021 10:47:20 AM 阅读:80

讲师:Gilbert Strang - 麻省理工学院教授,本笔记主要记录了方程组的几何解释和矩阵消元两节课的一些内容纪要,网站目前未设置留言功能,所以如果发现错误,请先忽视...

参考文章

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方程组的几何解释

视频地址 非特殊情况下,二维方程组的解为两条线相交于一点,三维方程组的解为三个平面相交于一点, 所以非特殊方程组的几何形式是一个相交点,而特殊形态为不相交、相交为一条线、面或复杂的多维形态。

左侧矩阵Ax在同一平面内,右侧矩阵b不在同一平面的情况称b为奇异矩阵,非可逆矩阵方程组是无解的。

矩阵乘向量 Ax=b 的解法

解法一 列思维求解 看作A各列的线性组合

$ \begin{bmatrix} 2&5\1&3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix} = 1 * \begin{bmatrix} 2\1 \end{bmatrix} + 2 * \begin{bmatrix} 5\3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+10\1+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12\7 \end{bmatrix} $

解法二 点乘法

$ \begin{bmatrix} 2&5\1&3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21+52\11+32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12\7 \end{bmatrix} $

解法三 行思维求解 如果是行向量乘矩阵的情况下,可以 看作A各行的线性组合

矩阵消元

视频地址 消元的目的按照矩阵思维是用A得到U的思路, 过程中确定各行的主元并通过上一行的倍数与本行做差的思路将主元前的数字变化成0

失效的情况

当遇到主元为0的情况时,可以通过行交换的方式解决,直到无法交换时则消元解法失效

矩阵消元公式

$E_{21}$ 是为消元过程中对第二行第一个数进行变化而得出的矩阵

$E_{32}$ 是为消元过程中对第三行第二个数进行变化而得出的矩阵

所以 $E_{32} * (E_{21} * A) = U$ 变幻后 $(E_{32} * E_{21}) * A = U$ 可以表示为矩阵消元公式

这里用到的矩阵乘法里的结合律,值得注意的是矩阵乘法不支持交换律

置换矩阵

$\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}$ 置换矩阵乘以其他矩阵可以将其行进行交换, 其他矩阵乘以置换矩阵可以将其列进行交换

单位矩阵

在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。

逆矩阵

实现矩阵的逆交换, 比如如何讲消元矩阵逆运算回A 原矩阵记为E,单位矩阵记为I,那逆矩阵可以记为E^-1