列空间和零空间 关键字:数学,线性代数,列空间,零空间
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向量空间
空间内任意两向量相加或乘积结果仍在空间内，即任意倍的向量v与任倍的向量w之和仍在空间中
三维空间举例
子空间
空间内通过原点的平面 P 或直线 L。
集合
$P \bigcup L$ 不构成子空间，因为 P 空间的一个向量 和 L 上的一个向量 相加或乘积，结果不一定在他们原本的空间里。
$P \bigcap L$ 则构成子空间
列空间
一个矩阵 $A$ 的列空间可以记为 $C(A)$，可以视为它所有列的线性组合
举例
问题：什么 $b$ 矩阵可以使得 方程式有解？
$Ax = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4 \ \end{bmatrix} $
回答：
- $x$ 为零空间
- 当且仅当 $b$ 为 $A$ 的列空间时， $Ax = b$ 有解
零空间
一个矩阵 $A$ 的零空间可以记为 $N(A)$
当 $Av = 0, Aw = 0$ 时 $A(v+w) = 0$