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线性代数笔记(五)
数学 线性代数 5/9/2022 10:42:05 PM 阅读:5

列空间和零空间 关键字:数学,线性代数,列空间,零空间

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列空间和零空间

向量空间

空间内任意两向量相加或乘积结果仍在空间内,即任意倍的向量v与任倍的向量w之和仍在空间中

三维空间举例

子空间

空间内通过原点的平面 P 或直线 L

集合

$P \bigcup L$ 不构成子空间,因为 P 空间的一个向量 和 L 上的一个向量 相加或乘积,结果不一定在他们原本的空间里。

$P \bigcap L$ 则构成子空间

列空间

一个矩阵 $A$ 的列空间可以记为 $C(A)$,可以视为它所有列的线性组合

举例

问题:什么 $b$ 矩阵可以使得 方程式有解?

$Ax = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4 \ \end{bmatrix} $

回答:

  • $x$ 为零空间
  • 当且仅当 $b$ 为 $A$ 的列空间时, $Ax = b$ 有解

零空间

一个矩阵 $A$ 的零空间可以记为 $N(A)$

当 $Av = 0, Aw = 0$ 时 $A(v+w) = 0$