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线性代数笔记(二)
数学 线性代数 矩阵 逆矩阵 1/8/2022 8:08:52 PM 阅读:47

相隔了一个月才继续学习数学,真是有点惭愧。但是终归安排出时间继续了:smile:,今天一起学习下乘法和逆矩阵 关键字:线性代数,数学

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乘法和逆矩阵

矩阵乘法

什么情况下矩阵可以相乘?

  • 矩阵不一定需要方阵
  • 矩阵$a_{mn}$ 与 矩阵$b_{np}$ 的乘积,$a$ 的列 $n$ 必须要与 $b$ 的行 $n$ 相等,得到的新矩阵为 $c_{mp}$

如何求出矩阵中的某一点$C_{ij}$

  • 点乘法

$ c_{ij} = a.Rowi * b.Colj = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{31}b_{4j} + ... = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $

  • 列(矩阵乘以向量)的解法

可以查阅上一节的知识 矩阵 $A * B = C$ 中的 $C$ 实际上是 $A$ 列的线性组合

  • 行(向量乘以矩阵)的解法

同上,我们也可以将 $C$ 的行看成 $B$ 行的线性组合

  • 列乘行解法

矩阵 $AB = SUM(A.Col * B.Row)$ 举例来说

$ \begin{bmatrix} 2&7\3&8\4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\3\4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7\8\9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&12\3&18\4&24 \end{bmatrix} $

  • 分块乘法

$ \begin{bmatrix} A_{1}&A_{2}\A_{3}&A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}&B_{2}\B_{3}&B_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3}&A_{1}B_{2}+A_{2}B_{4}\ A_{3}B_{1}+A_{4}B_{3}&A_{3}B_{2}+A_{4}B_{4} \end{bmatrix} $

其中$A_{1}$可以视为一个更小的矩阵

逆矩阵

  1. 不是所有矩阵都有
  2. 可逆矩阵也成为非奇异矩阵
  3. 对于一个存在逆的矩阵而言,它的左逆阵等于右逆阵(只在方阵情况下生效)

奇异矩阵

假设一个向量 $x \neq 0$ ,和一个方阵 $A$ 使 $Ax = 0$,那这个 $A$ 不可逆 因为我们上面了解到,方阵的左逆阵等于右逆阵,所以当向量$x$存在于一个方阵中与 $A$ 可逆的话,只有 $X=0$ 才有可能但是这种情况是与命题不符的,举例

$ AX=\begin{bmatrix} 1&3\2&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix} $

高斯若尔丹(Gauss-Jordan)消元法

$E[AI]=[IA^{-1}]$

  1. 举例如下

$ \begin{bmatrix} 1&3\2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix} $

  1. 我们要求逆$A^{-1}$可以使用增广矩阵进行消元

$ \begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\2&7&|&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&|&7&-3\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix} $

  1. 所以最终求出逆矩阵

$ A^{-1} = \begin{bmatrix} &7&-3\&-2&1 \end{bmatrix} $

  1. 代入验算通过 :sunglasses:

$ \begin{bmatrix} 1&3\2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &7&-3\&-2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix} $